Linear Combinations

Initialization

Off[General::spell1]

$TextStyle = {FontFamily -> "Courier-Bold",  
          FontSize  ->  18};

Linear combinations of four vectors in (ℝ^4)

(Subscript[v, 1]) = {1, 1, 2, 0};
(Subscript[v, 2]) = {-1, -1, 2, 0};
(Subscript[v, 3]) = {2, 3, 3, 1};
(Subscript[v, 4]) = {1, 2, 1, 1};

    
(Subscript[b, 1]) = {-3, -2, 3, -1};
(Subscript[b, 2]) = {5, 6, 1, 1};

A = 
        Transpose[{(Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2]), (Subscript[v, 3]), (Subscript[v, 4]), 
            (Subscript[b, 1])}];
MatrixForm[A]

B = RowReduce[A];
MatrixForm[B]

A = 
        Transpose[{(Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2]), (Subscript[v, 3]), (Subscript[v, 4]), 
            (Subscript[b, 2])}];
MatrixForm[A]

B = RowReduce[A];
MatrixForm[B]

Both (Subscript[b, 1]) and (Subscript[b, 2]) at once

(Subscript[v, 1]) = {1, 1, 2, 0};
(Subscript[v, 2]) = {-1, -1, 2, 0};
(Subscript[v, 3]) = {2, 3, 3, 1};
(Subscript[v, 4]) = {1, 2, 1, 1};

    
(Subscript[b, 1]) = {-3, -2, 3, -1};
(Subscript[b, 2]) = {5, 6, 1, 1};

A = 
        Transpose[{(Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2]), (Subscript[v, 3]), (Subscript[v, 4]), (Subscript[b, 1]), 
            (Subscript[b, 2])}];
MatrixForm[A]

Note that the first four columns of B are the reduced row echelon form of Transpose[{(Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2]), (Subscript[v, 3]), (Subscript[v, 4])}]

B = RowReduce[A];
MatrixForm[B]